назад

Лабораторная работа №1. Интерполяция.

Известно, что функция удовлетворяет условию при любом x. Рассчитать шаг таблицы значений функции f(x), по которой с помощью линейной интерполяции можно было бы найти промежуточные значения функции с точностью 0.0001, если табличные значения функции округлены до 4-х знаков после запятой. Составить программу, которая

1.Выводит таблицу значений функции с рассчитанным шагом h на интервале [c, c+30h].

2. С помощью линейной интерполяции вычисляет значения функции в точках по таблице значений функции с шагом h.

3. Выводит значения x_i, приближенные и точные значения функции в точках x_i (i = 0,1,¼29).

Для построения таблицы взять функцию N – последняя цифра пароля, i  mod 4 – остаток от деления i на 4 (Например, 10 mod 4 = 2, 15 mod 4 = 3, 8 mod 4 = 0).

Пример расчета шага таблицы: Пусть . Полная погрешность интерполяции R = R_усеч + R_округ, где R_усеч – погрешность формулы линейной интерполяции, R_округ – погрешность, возникающая из-за подстановки в формулу линейной интерполяции приближенных значений функции

Известно, что погрешность формулы линейной интерполяции оценивается по следующему неравенству:

R_усеч £ , где . По условию задачи , следовательно, R_усеч £ . По условию табличные значения функции округлены до 4-х знаков. Следовательно, абсолютная погрешность округления табличных значений D (f) = 0.5× 10^-5. Тогда, при подстановке этих приближенных значений в формулу линейной интерполяции возникает погрешность:

Лабораторная работа №2.Решение систем линейных уравнений.

Привести систему к виду, подходящему для метода простой итерации. Рассчитать аналитически количество итераций для решения системы линейных уравнений методом простой итерации с точностью до 0.0001 для каждой переменной.

Написать программу решения системы линейных уравнений методом простой итерации с точностью до 0.0001 для каждой переменной. Точность достигнута, если (k – номер итерации, k = 0,1,¼ ). Вывести количество итераций, понадобившееся для достижения заданной точности, и приближенное решение системы. Система уравнений

Пусть имеется система:

Приведем ее к виду, удобному для метода простой итерации:

, тогда

В качестве начального приближения возьмем . Для метода простой итерации погрешность оценивается по формуле . По условию точность должна быть меньше, чем 0.01. Получаем, .

Выполнение 28 шагов по методу простой итерации гарантирует вычисление значения каждого неизвестного с точностью 0.01. При работе программы обычно получается меньшее количество шагов.

Лабораторная работа №3.Решение нелинейных уравнений

Найти аналитически интервалы изоляции действительных корней уравнения. Написать программу нахождения всех действительных корней нелинейного уравнения методом деления пополам с точностью 0,0001. Считается, что требуемая точность достигнута, если выполняется условие , (e – заданная точность), при этом Корни отделить аналитически, для чего найти производную левой части уравнения и составить таблицу знаков левой части на всей числовой оси. Вариант выбирается по последней цифре пароля.

Вариант 0:

Вариант 1:

Вариант 2:

Вариант 3:

Вариант 4:

Вариант 5:

Вариант 6:

Вариант 7:

Вариант 8:

Вариант 9:

Найдем интервалы изоляции действительных корней уравнения . Для этого найдем производную функции и критические точки из условия .

, .

Лабораторная работа №4. Численное дифференцирование

Известно, что функция удовлетворяет условию при любом x. Измерительный прибор позволяет находить значения с точностью 0.0001. Найти наименьшую погрешность, с которой можно найти по приближенной формуле: . Рассчитать шаг для построения таблицы значений функции, которая позволит вычислить значения с наименьшей погрешностью.

Составить программу, которая

1. Выводит таблицу значений функции с рассчитанным шагом h на интервале [c – h, c + 21h].

2. По составленной таблице вычисляет значения в точках .

3. Выводит значения x_i (i = 0,1,¼ 20)., приближенные и точные значения в точках x_i.

Для построения таблицы взять функцию , где N – последняя цифра пароля. Тогда, точное значение производной

Пример расчета шага таблицы:

Пусть .

Из формулы для расчета оптимального шага следует, что , где . В нашем случае .

Лабораторная работа №5. Одномерная оптимизация

Написать программу для нахождения максимального значения функции на отрезке [0, 0.5] методом золотого сечения с точностью 0.0001. Считается, что требуемая точность достигнута, если выполняется условие , (e – заданная точность, a_k, b_k – границы интервала неопределенности, k = 0,1,2,¼ ), при этом, ,

N – последняя цифра пароля.